Метод Михайлова на Visual Basic 6 с годографом

Разработка программы для проверки устойчивости системы управления по методу Михайлова


Программа наглядно демонстрирует применение метода Михайлова для проверки системы на устойчивость.

Программа разработана в Visual Basic 6.0, она имеет интерфейс для ввода произвольного уравнения системы, предоставляет возможность оконного ввода диапазона частот для расчета и интервала дискретности частот, рассчитывает параметры годографа Михайлова и выводит его на экран вместе с сообщением о результате проверки устойчивости систем.

 

Частотные критерии устойчивости базируются на использовании частотных характеристик. Основное преимущество частотных критериев устойчивости перед алгебраической критериям заключается в том, что частотные характеристики можно получить экспериментально, по которым сравнительно просто определить влияние того или иного параметра на устойчивость, а также каков переходный процесс системы.

Критерий устойчивости линейных систем автоматического регулирования с постоянными параметрами, введён советским учёным А. В. Михайловым (1936), опубликован в журнале «Автоматика и телемеханика» в 1938. критерий Михайлова применяется при исследовании устойчивости замкнутых систем, свободное движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями.

Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Для линейных систем определены следующие условия устойчивости:

- линейная система асимптотически устойчива, если все корни характеристического уравнения системы имеют отрицательные вещественные части;

- линейная система неустойчива, если среди корней характеристического уравнения есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью;

- линейная система устойчива не асимптотически, если среди корней характеристического уравнения имеется один нулевой или пара мнимых корней, а остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

Существуют правила, которые позволяют судить о знаках действительных частей корней без решения самого характеристического уравнения системы. Эти правила называют критериями устойчивости.

Частотный критерий Михайлова позволяет определить устойчивость системы по частотному годографу (кривой Михайлова), полученному из ее характеристического многочлена.

Пусть характеристическое уравнение (полином) системы

полином системы

Заменив в  A(p) оператор  р на оператор  jω, получим вектор А(jω)

метод михайлова

где  действительная и мнимая части комплекса критерий михайловабудут:

метод Михайлова

В соответствии с принципом аргумента изменение аргумента  комплексного числа в виде уравнения (1) для устойчивой системы, у которой все корни n характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, можно записать в виде

метод Михайлова

Геометрическое место конца вектора A(jw) при - ¥ < w < + ¥ называется годографом вектора A(jw) или годографом Михайлова.

Из (4) следует формулировка критерия устойчивости Михайлова.

Система устойчива, если при изменении частоты w от 0 до + ¥ вектор A(jw)  в комплексной плоскости

поворачивается на угол метод Михайлова , где n – степень характеристического уравнения A(p).

Иначе, система устойчива, если годограф A(jw) с ростом w от 0 до + ¥, начинаясь на действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов и уходит в бесконечность в n-ом квадранте.

Годограф A(jw) можно построить по уравнениям (2) и (3), задаваясь значениями  частоты  w и вычисляя  U и V.

По кривой Михайлова можно судить о том, сколько корней с положительными вещественными частями содержит характеристическое уравнение данной неустойчивой системы.

При подсчете  результирующего угла поворота метод Михайлова следует иметь ввиду, что при четной степени уравнения кривая Михайлова стремится к бесконечности параллельно оси  Х и при нечетной степени – параллельно оси  Y.

Критерий удобен своей наглядностью и используется, если известно уравнение замкнутой САУ. Если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот.

Алгоритм – это строгая и четкая последовательность действий, выполнение которых приводит к определенному результату.

Параметрами разработанного программного комплекса являются критерии, базирующиеся на априорном знании характеристического уравнения системы, которое и представляет собой входные данные и должны быть введены в виде коэффициентов при различных степенях характеристической переменной.

Интерфейс программы оценки устойчивости изображен на рис.1

Программа способна рассчитывать параметры годографа Михайлова также выводить на экран сообщение о результате проверки устойчивости систем.

Рассмотрим пример работы системы, с помощью уравнения.

Характеристическое уравнение систем:

A(р) = 5р3 + p2 + 10p + 1

Таким образом, имеем решение этого уравнения:

A(jw) = 5(jw)3 + (jw)2 + 10(jw) + 1 = 1 - w2 + j (10w - 5w3)

Соответственно U(w) = 1-w2 и V(w) = j(10w - 5w3) действительная и мнимая часть годографа Михайлова.

Расчет результатов приведен на рис. 2

интерфейс по методу Михайлова

Рис. 1 Интерфейс программы

результат расчетов по методу Михайлова

Рис. 2 Результаты расчетов

 

Программный продукт определяет устойчивость замкнутой системы критерия Михайлова, применяется для систем любого порядка, что придаёт критерию наглядность и решает задачу выбора параметров системы из условия устойчивости.

 

В. В. Галиус Разработка программы для проверки устойчивости системы управления по методу Михайлова.

В статье представлена работа по разработке программы для проверки устойчивости методом Михайлова.

Определены основные требования к программе. Создан программный продукт на основе Visual Basic 6.0.

Ключевые слова: САУ

В. В. Галіус Розробка програми для перевірки стійкості системи управління за методом Михайлова.

У статті представлена робота по розробці програми для перевірки стійкості методом Михайлова.

Визначено основні вимоги до програми. Створено програмний продукт на основі Visual Basic 6.0.

Ключові слова: САУ

V.V. Galius Development program to check the stability of control systems by the method of Mikhailov.

The paper presents work on developing a program to check the stability of the method of Mikhailov

The basic requirements for the program. Created a software product based on Visual Basic 6.0.

Keywords: ACS

Галіус Віолетта Валеріївна – студентка 4-го курсу інституту інформаційних технологій, спеціальність «Інформатика». м. Луганськ.

Науковий керівник - Сквірський Віктор Давидович, доц. к.т.н., завідувач кафедри теоретичної та прикладної інформатики. ЛНУ імені Тараса Шевченка.

Last modified on Суббота, 18 февраля 2017 15:50

Leave a comment

Make sure you enter all the required information, indicated by an asterisk (*). HTML code is not allowed.